Extremwertaufgabe - Volumen von Getränkedosen

Getränkedosen haben annähernd eine zylindrische Form. Das Volumen einer Dose soll 250 ml betragen.
a) Wie ist die Dose zu dimensionieren, wenn der Materialverbrauch bei der Herstellung minimal sein soll ? (Abmessungen in mm)
b) Wie verhalten sich Durchmesser und Höhe zueinander ?

0 = 4rπ – 500r^-²

500r^-² = 4rπ

500/r² = 4rπ

500 = 4r³π

500/4π = r³

³√ 500/4π = r

³√ 125/π = r

5 / ³√π = r

Extremwertbeispiel 6 - Zylinder mit möglichst kleiner Oberfläche

6.) Wie soll man eine zylindrische Konservenbüchse von von 1 Liter dimensionieren, damit zu ihrer Herstellung möglichst wenig Blech gebraucht wird? (Falze bleiben unberücksichtigt)

Extremwertaufgabe 8 - zylindrischer Kochtopf

8.) Welche Abmessungen muss man einem zylindrischen Kochtopf von 1 Liter Fassungsvermögen geben, damit zu seiner Herstellung möglichst wenig Material erforderlich ist? Warum können Griffe unberücksichtigt bleiben?

Extremwertbeispiel 1: In Pyramide eingeschriebener Zylinder

1.) Einer geraden, quadratischen Pyramide mit der Grundkante a = 16 und der Körperhöhe h = 22 cm soll ein Zylinder mit möglichst großer Mantelfläche eingeschrieben werden. Wie groß ist die Mantelfläche?