Extremwertaufgabe - Volumen von Getränkedosen

Getränkedosen haben annähernd eine zylindrische Form. Das Volumen einer Dose soll 250 ml betragen.
a) Wie ist die Dose zu dimensionieren, wenn der Materialverbrauch bei der Herstellung minimal sein soll ? (Abmessungen in mm)
b) Wie verhalten sich Durchmesser und Höhe zueinander ?

0 = 4rπ – 500r^-²

500r^-² = 4rπ

500/r² = 4rπ

500 = 4r³π

500/4π = r³

³√ 500/4π = r

³√ 125/π = r

5 / ³√π = r

Extremwertbeispiel 2 - Rechteck dreht sich um eine seiner Seiten

2.) Ein Rechteck mit einem Umfang von 2m dreht sich um eine seiner Seiten. Wie müssen die Seiten des Rechtecks gewählt werden, damit das Volumen des entstehenden Drehzylinders möglichst groß wird?

Extremwertbeispiel 5 - Prisma mit größtem Volumen

5.) Aus 1m Draht soll das Kantenmodell eines quadratischen Prismas hergestellt werden, das den größten Rauminhalt hat. Berechne a und h.

Extremwertaufgabe 10 - quaderförmige Schachtel

10.) Von einem quadratischen Stück Blech mit der Seitenlänge 12cm werden an den Ecken kongruente Quadrate ausgeschnitten. Aus dem Rest wird eine quaderförmige Schachtel gebildet. Welche Seitenlängen müssen die auszuschneidenden Quadrate haben, damit das Volumen dieser Schachtel maximal wird ?

Extremwertaufgabe 6 - Kegel Kegelstumpf einschreiben

6) Einem Kegelstumpf mit den Radien R und r und der Höhe h ist ein Kegel derart einzuschreiben, dass die Spitze des Kegels im Mittelpunkt des Basiskreises des Kegelstumpfes liegt.  Wie groß sind Radius und Höhe des Kegels zu wählen, wenn er maximales Volumen haben soll? R = 20 cm, r = 10 cm, h = 12 cm

Extremwertbeispiel 2 - rechteckige Blechplatte mit möglichst großem Volumen

2.)  Aus einer rechteckigen Blechplatte von 4m Länge und 2m Breite soll durch Ausschneiden der Ecken und Hochbiegen der Ränder ein offener Kasten mit möglichst großem Volumen hergestellt werden. Wie sind die Maße zu wählen ?

Integral- Volumensberechnungen

7.) Der Abschnitt des Graphen von f(x) zwischen den Punkten (x₁/f(x₁)) und (x₂/f(x₂)) rotiert um die x-Achse. 
Berechne das Volumen des dabei entstehenden Drehkörpers!




a) f (x) = 3x x1 = 0, x2 = 2
=> (3x)² = 9x² 
 
π ²∫₀ (9x²) = π (9x³/3) = 24 π





b) f (x) = x/2 + 3
=> (x/2 + 3)² = x²/4 + 6x/2 + 9 
 

π ⁴∫₀ (x²/4 + 6x/4 + 9 ) =  
π ⁴∫₀ (x³/3*4 + 6x²/2*2 + 9x) =
π (64/12 + 96/4 + 36) = π (64/12 + 288/12 + 432/12) = 784/12π ~65,33π




d) f (x) = x² + 1 x₁ = 0, x₂ = 2 
(x² + 1)² = x⁴ + 2x + 1
 
π ²∫₀ (x⁴ + 2x² + 1 ) =
π ²∫₀ (x⁵/5 + 2x³/3 + x) =
π (32/5 + 16/3 + 2) = π (96/15 + 80/15 + 30/15 ) = 206/15 π ~ 13,73 π


10. Das Flächenstück zwischen den Parabeln y² = 4x und x² = 4y rotiert um die x-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden Drehkörpers?

y² = 4x => y² = 4x
x² = 4y => y = 1/4x² = > y² = 1/16x⁴



4x = 1/16 x⁴
64x = x⁴
x(x³ – 64)
=> x1 = 0



x³ = 64 / ³√
x = 4



π ⁴∫₀ (4x – 1/16x⁴) = π ⁴∫₀ (4x²/2 – 1/16*5 x⁵) = π ⁴∫₀ (2x² – x⁵/80) = π (32 – 12,8) = 19,2 π