Extremwertaufgabe 8 - zylindrischer Kochtopf

8.) Welche Abmessungen muss man einem zylindrischen Kochtopf von 1 Liter Fassungsvermögen geben, damit zu seiner Herstellung möglichst wenig Material erforderlich ist? Warum können Griffe unberücksichtigt bleiben?

Extremwertaufgabe 10 - quaderförmige Schachtel

10.) Von einem quadratischen Stück Blech mit der Seitenlänge 12cm werden an den Ecken kongruente Quadrate ausgeschnitten. Aus dem Rest wird eine quaderförmige Schachtel gebildet. Welche Seitenlängen müssen die auszuschneidenden Quadrate haben, damit das Volumen dieser Schachtel maximal wird ?

Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen 2

Aufgabe 3: Kurvenuntersuchung, Integration, Tangenten



a) Untersuchen Sie f(x) = -1/4x⁴ + 3/2x² - 5/4 auf Symmetire, Achsenschnittpunkte, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen der Wendetangenten.



(Lösung: t_1/2 = +- 2x +- 2)
Skizzieren sie f und ihre Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich.



b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Wendetangenten und f eingeschlossen wird.






Lösung:



a) Symmetrie: f(x) = f(-x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-Achse)



Achsenschnittpunkte: x = 0 => S_y ( 0 | -5/4 )



y = 0 mit Substitution z = x² und pq-Formel => S_x1/2 (+- 1 | 0), S_x3/4 (+- √5 | 0)



Ableitungen: f '(x) = -x³ + 3x und f " (x) = -3x² + 3
Hoch und Tiefpunkte: f '(x) = 0 und f “(x) ≠ 0 => H ( 0 | -5/4 ) und T_1/2 (+- √3 | 1)



Wendepunkte: f " (x) = 0 mit Vorzeichenwechsel bzw. f '"(x) ≠ 0 => W_1/2 (+ -1|0)



Wendetangenten: t_1/2 (x) = +- 2x +- 2






b) A = 2 * ¹∫₀ ( f(x) - t₂(x))dx = 2 * ¹∫₀ (-1/4x4 + 3/2x² - 2x + 3/4)dx = 2 * [-1/20x⁵ + 1/2x³ - x² + 3/4x]¹₀ = 3/5 FE






Aufgabe 4: Kurvenuntersuchung, Extremwertaufgabe, Integration



a) Untersuche die Polynomfunktion f(x) = 1/4x⁴ -2x² + 4 auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- sowie Wendepunkte. Stelle die Funktion in einem Koordinatensystem mit allen wesentlichen Punkten dar.



b) Berechne den Inhalt des endlichen Flächenstücks A₀, das durch den Funktionsgraphen und die x-Achse begrenzt wird.



c) In den Zwischenraum A₀ soll ein Rechteck maximaler Fläche eingeschrieben werden. Bestimmte dessen Seitenlängen.



d) Wieviel Prozent des gesamten Zwischenraums A₀ nimmt das Rechteck aus c) ein?



Lösungen:



a) f ist symmetrisch zur y-Achse, da f(-x) = f(x)
Schnittpunkt mit y-Achse S_y (0|4)



f(x) = 1/4 * (x - 2)² * (x + 2)² => T_1/2 (+- 2|0)



(doppelte Nullstellen => Berührpunkte und insbesondere Tiefpunkte, da f(x) > 0 für alle x ℮ R siehe unten)



Ableitungen: f ' (x) = x³ - 4x = x(x +2)(x -2),
f '(x) = 3x² - 4 und f "(x) = 6x



Hochpunkt H (0|4), da f ' (0) = 0 und f " (0) = -1 < 0 oder mit Vorzeichenwechsel von + nach -



Tiefpunkte T_1/2 (+- 2 | 0) da f ' (+- 2) = 0 und f " (+- 2) = 2 > 0 oder wie oben oder mit Vorzeichenwechsel



Wendepunkte: W_1/2 (+- √ 4/3 | 16/9),
da f " (+- √ 4/3) = 0 und f " (+- √ 4/3) = 3/2 * √ 4/3 ≠ 0
oder mit Vorzeichenwechsel



b)
Der Flächeninhalt des gesamten Zwischenraums ist

A₀ = 2 * ²∫₀ f(x) dx = 2 * [1/20x⁵ - 2/3x³ + 4x]² ₀ =
= 2 * (8/5 - 16/3 + 8) = 128/15 FE



c) Das Rechteck mit den Eckpunkten A (-u|0), B (u|0), C(u|f(u)) und D (-u|f(-u))
mit 0 ≤ u ≤ 2



Flächeninhalt A(u) = 2u * f(u) = 1/4u⁵ - 2u³ + 4u mit A' (u) = 5/4u⁴ -6u² + 4 =
= 5/4 (u⁴ - 24/5u² + 16/5)



A'(u) = 0 für u² = 12/5 +- 8/5 < = > u_1/2 = +- √ 4/5 und u_3/4 = +- 2



u₂ und u₄ sind negativ und liegen ausserhalb des betrachteten Bereiches.



In u₃ = 2 wird die Fläche minimal mit A(2) = 0



Das absolute und relative Maximum muss also bei u₁ = √4/5 liegen mit f (√4/5 ) = 64/25



Das Rechteck hat die Seitenlängen 2 * √ 4/5 und 64/25






d) Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist A = 128/25 √4/5 FE.



Der Anteil von A beträgt A : A0 = A/A0 = √4/5 * 128/25 * 15/128 =



= √4/5 * 3/5      ~53,67%