Extremwertbeispiel 3 - Rechteck von größtem Flächeninhalt

3.) Aus 64 Zündhölzern ist ein Rechteck, von größtem Flächeninhalt zu legen. Berechne die Seitenlängen (Anzahl der Zündhölzer pro Seite).

Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen 2

Aufgabe 3: Kurvenuntersuchung, Integration, Tangenten



a) Untersuchen Sie f(x) = -1/4x⁴ + 3/2x² - 5/4 auf Symmetire, Achsenschnittpunkte, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen der Wendetangenten.



(Lösung: t_1/2 = +- 2x +- 2)
Skizzieren sie f und ihre Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich.



b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Wendetangenten und f eingeschlossen wird.






Lösung:



a) Symmetrie: f(x) = f(-x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-Achse)



Achsenschnittpunkte: x = 0 => S_y ( 0 | -5/4 )



y = 0 mit Substitution z = x² und pq-Formel => S_x1/2 (+- 1 | 0), S_x3/4 (+- √5 | 0)



Ableitungen: f '(x) = -x³ + 3x und f " (x) = -3x² + 3
Hoch und Tiefpunkte: f '(x) = 0 und f “(x) ≠ 0 => H ( 0 | -5/4 ) und T_1/2 (+- √3 | 1)



Wendepunkte: f " (x) = 0 mit Vorzeichenwechsel bzw. f '"(x) ≠ 0 => W_1/2 (+ -1|0)



Wendetangenten: t_1/2 (x) = +- 2x +- 2






b) A = 2 * ¹∫₀ ( f(x) - t₂(x))dx = 2 * ¹∫₀ (-1/4x4 + 3/2x² - 2x + 3/4)dx = 2 * [-1/20x⁵ + 1/2x³ - x² + 3/4x]¹₀ = 3/5 FE






Aufgabe 4: Kurvenuntersuchung, Extremwertaufgabe, Integration



a) Untersuche die Polynomfunktion f(x) = 1/4x⁴ -2x² + 4 auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- sowie Wendepunkte. Stelle die Funktion in einem Koordinatensystem mit allen wesentlichen Punkten dar.



b) Berechne den Inhalt des endlichen Flächenstücks A₀, das durch den Funktionsgraphen und die x-Achse begrenzt wird.



c) In den Zwischenraum A₀ soll ein Rechteck maximaler Fläche eingeschrieben werden. Bestimmte dessen Seitenlängen.



d) Wieviel Prozent des gesamten Zwischenraums A₀ nimmt das Rechteck aus c) ein?



Lösungen:



a) f ist symmetrisch zur y-Achse, da f(-x) = f(x)
Schnittpunkt mit y-Achse S_y (0|4)



f(x) = 1/4 * (x - 2)² * (x + 2)² => T_1/2 (+- 2|0)



(doppelte Nullstellen => Berührpunkte und insbesondere Tiefpunkte, da f(x) > 0 für alle x ℮ R siehe unten)



Ableitungen: f ' (x) = x³ - 4x = x(x +2)(x -2),
f '(x) = 3x² - 4 und f "(x) = 6x



Hochpunkt H (0|4), da f ' (0) = 0 und f " (0) = -1 < 0 oder mit Vorzeichenwechsel von + nach -



Tiefpunkte T_1/2 (+- 2 | 0) da f ' (+- 2) = 0 und f " (+- 2) = 2 > 0 oder wie oben oder mit Vorzeichenwechsel



Wendepunkte: W_1/2 (+- √ 4/3 | 16/9),
da f " (+- √ 4/3) = 0 und f " (+- √ 4/3) = 3/2 * √ 4/3 ≠ 0
oder mit Vorzeichenwechsel



b)
Der Flächeninhalt des gesamten Zwischenraums ist

A₀ = 2 * ²∫₀ f(x) dx = 2 * [1/20x⁵ - 2/3x³ + 4x]² ₀ =
= 2 * (8/5 - 16/3 + 8) = 128/15 FE



c) Das Rechteck mit den Eckpunkten A (-u|0), B (u|0), C(u|f(u)) und D (-u|f(-u))
mit 0 ≤ u ≤ 2



Flächeninhalt A(u) = 2u * f(u) = 1/4u⁵ - 2u³ + 4u mit A' (u) = 5/4u⁴ -6u² + 4 =
= 5/4 (u⁴ - 24/5u² + 16/5)



A'(u) = 0 für u² = 12/5 +- 8/5 < = > u_1/2 = +- √ 4/5 und u_3/4 = +- 2



u₂ und u₄ sind negativ und liegen ausserhalb des betrachteten Bereiches.



In u₃ = 2 wird die Fläche minimal mit A(2) = 0



Das absolute und relative Maximum muss also bei u₁ = √4/5 liegen mit f (√4/5 ) = 64/25



Das Rechteck hat die Seitenlängen 2 * √ 4/5 und 64/25






d) Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist A = 128/25 √4/5 FE.



Der Anteil von A beträgt A : A0 = A/A0 = √4/5 * 128/25 * 15/128 =



= √4/5 * 3/5      ~53,67%

Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen

Aufgabe 1:    Kurvendiskussion, Flächenberechnung

Untersuchen Sie f(x) = 1/2 x⁴- 2x² und g(x) = 1/2 x² - 2 auf Symmetie,Achsenschnittpunkte, Extrempunkte sowie gemeinsame Punkte. Skizzieren Sie beide Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von f und g eingeschlossen wird. 

Lösung:

Symmetrie: f und g sind symmetrisch zur y-Achse, da f(-x) = f(x) und g(-x) = g(x)

f(x) = 1/2 (x - 2)(x + 2)  = > S_fx1(0|0) (doppelt, daher Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel) und

S_{fx2/3  (+- 2|0)} 

_{g(x) = 1/2 (x - 2)(x + 2) => Sgx1/2 (+-2|0) und Sgy (-4|0) (Scheitelpunkt = Tiefpunkt)}

Ableitungen: f ' (x) = 2x³ - 4x = 2x(x² - 2) und f " (x) = 6x² - 4

Tiefpunkte (f ' (x) = 0 und f " (x) > 0 ) : T_f1/2(+- √2 | -2 )

Gemeinsame Punkte: f (x) = g (x) < = > ½ x⁴ – 5/2 x² + 2 = 0 <=> ½ (x² – 1)(x² – 4) = 0

S_fg1/2 (+-1| -3/2) und S_fg3/4(+-2 | 0)

Flächeninhalt A = 2 * ¹∫₀ (f(x) – g(x)) dx + 2 * ²∫_-1 ((g(x) – f(x)) dx

= ¹∫₀ (x⁴ – 5x² + 4) dx + ²∫₁ (-x⁴ + 5x² – 4)dx = [1/5x⁵ – 5/3x³ + 4x ]¹₀ + [ -1/5x⁵ + 5/3x³ – 4x]²₁

₌ 38/15 + 38/15 + 44/15 = 8 FE

Aufgabe 2 : Kurvenuntersuchung, Integration, Tangenten

a)  Untersuchen Sie f(x) = 1/2x⁴ – 3x² + 5/2 auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangenten. (Lösung: t_1/2 = +-4x +- 4) Skizzieren sie f und ihre Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich.

b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Wendetangten und f eingeschlossen wird.

Lösung:

a) Symmetrie: f(x) = f(-x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-Achse)

Achsenschnittpunkte: x = 0 => S_y (0 | 5/2)

y = 0 mit Subtitiution z = x² und pq-Formel => S_x1/2(+- 1| 0), Sx3/4 (+- √5| 0)

Ableitungen: f ' (x) = 2x³ – 6x und f “ (x) = 6x² – 6

Hoch- und Tiefpunkte: f ' (x) = 0 und f “ (x) ≠ 0 => H (0 | 5/2) und T_1/2 (+- √3 | -2)

Wendepunkte: f “ (x) = 0 mit Vorzeichenwechsel bzw. f “' (x) ≠ 0 => W_1/2 (+- 1|0)

Wendetangenten: t_1/2 (x) = +- 4x +- 4

b) A = 2 * ¹∫₀ (t1(x) – f(x)) dx = 2 * ¹∫₀ (-1/2x⁴ + 3x² – 4x + 3/2) dx

= 2 * [ -1/10x⁵ + x³ – 2x² + 3/2x ]¹₀ = 6/5 FE

Integral- Flächeninhaltsberechnungen 2

229) b) Wie groß ist das endliche Flächenstück welches die Abszissenachse mit der Kurve y = x³ + 4x² + 4x bildet?

Abszissenachse = x – Achse

y = x³ + 4x² + 4x

x(x² + 4x + 4)

x1 = 0

x² + 4x + 4 = 0 = > kl Lösungsformel => x2 = -2

⁰∫_-2 (x³ + 4x² + 4x) =
⁰∫_-2 x⁴/4 + 4x³/3 + 4x²/2 =
0 - (- 2⁴/4 + 4*(-2)³/3 + 4*(-2)²/2 =
-(16/4 – 32/3 + 16/2) = -16/4 + 32/3 – 16/2 = - 48/12 + 128/12 – 96/12 = | -16/12 | = 4/3

229) a) Wie groß ist das endliche Flächenstück welches die Abszissenachse mit der Kurve y = x³ - 6x² + 9x bildet?

x³ - 6x² + 9x = 0

x(x² – 6x + 9) = 0

x1 = 0

x² – 6x + 9 = 0

kl Lösungsformel => x2 = 3

³∫₀ (x³ - 6x² + 9x) =
³∫₀ (x⁴/4 – 6x³/3 + 9x²/2) =
(3⁴/4 – 6*3³/3 + 9*2²/2) – 0 = 81/4 – 162/3 + 81/2 = 243/12 – 648/12 + 486/12 = 81/12 = 27/4


230) b)
Wie groß ist das endliche Flächenstück, welches die Abszissenachse mit der Kurve y = x⁴ – 2x² + 1 bildet?


x⁴ – 2x² + 1 = 0
u² – 2u + 1 = 0 <= Substitution

kl Lösungsformel: 2/2 +- √(-2/2)² – 1 => u = 1 => x² = 1 => √ => x = +- 1


¹∫_-1 (x⁴ – 2x² + 1) = ¹∫_-1 (x⁵/5 – 2x³/3 + 1x) = (1/5 – 2/3 + 1) – (-1/5 + 2/3 - 1) =
= 3/15 – 10/15 + 15/15 + 3/15 – 10/15 + 15/15 = 16/15

231) Gegeben ist eine Kurve mit der Funktionsgleichung y = x³ – 4x² – x + 4. 1) Ermittle die Nullstellen x1, x2, x3 und berechne den Flächeninhalt zwischen x1 und x3 2) und das bestimmte Integral von f zwischen x1 und x3.

1. y = x³ – 4x² – x + 4 => Polynomdivision
   1. Nullstelle : x1 = 1

(x³ – 4x² – x + 4) : ( x - 1) = x² – 3x – 4

-x³ + x²

-3x² – x

+3x² – 3x

-4x + 4

+4x – 4

0 0 R

x² – 3x – 4 => kl Lösungsformel => x2 = 4, x3 = -1

¹∫_-1 (x³ – 4x² – x + 4) =

x⁴/4 – 4x³/3 – x²/2 + 4x ¹|_-1 =

1⁴/4 – 4*1³/3 – 1²/2 + 4*1 - ((-1)⁴/4 – 4*(-1)³/3 – (-1)²/2 + 4(-1) ) =

¼ – 4/3 – ½ + 4 - ¼ – 4/3 + ½ + 4 = -8/3 + 8 = -8/3 + 24/3 = 16/3

⁴∫₁ (x³ – 4x² – x + 4) =

(x⁴/4 – 4x³/3 – x²/2 + 4x ) ⁴|_{1 =}

(4⁴/4 – 4*4³/3 – 4²/2 + 4*4 ) - (1⁴/4 – 4*1³/3 – 1²/2 + 4*1) =

256/4 – 256/3 – 16/2 + 16 – ¼ + 4/3 +1/2 – 4 =

255/4 – 252/3 – 15/2 + 12 =

765/12 – 1008/12 – 90/12 + 144/12 = -189/12 = -63/4

A = 16/3 + 63/4 = 64/12 + 189/12 = 253/12

2. ⁴∫_-1 (x³ – 4x² – x + 4) =

x⁴/4 – 4x³/3 – x²/2 + 4x ⁴|_-1 =

256/4 – 256/3 – 16/2 + 16 - (1/4 + 4/3 – 1/2 - 4 ) =

255/4 – 260/3 – 15/2 + 20 = 765/12 – 1040/12 – 90/12 + 240/12 = -125/12

235 a)
Welches Flächenstück (Segment) schneidet die folgende Gerade von der Parabel y² = 8x ab? Berechne den Flächeninhalt!


3y – 2x = 8
y² = 8x


3y – 2x = 8
-2x = 8 – 3y
x = -4 + 1,5y


y² = 8(-4 + 1,5y)
y² = -32 + 12y
y² + 32 – 12y = 0


kl Lösungsformel = > y1 = 8 , y2 = 4


y in y² + 32 – 12y = 0 => x1 = 8, x2= 2 s1(8|8), s2(2|4)


y² = 8x / √
y = 2 * √2 x^1/2


3y – 2x = 8
3y = 8 + 2x
y = 8/3 + 2/3x


⁸∫₂ (2 * √2 x^1/2 ) - (8/3 + 2/3x)
⁸∫₂ (2 * √2 * x^3/2 / 3/2) - (8/3x + 2/3 * x²/2) =
4 * √2 * 8^3/2 / 3) – 8/3 * 8 - 8²/3 - 4 * √2 *2^3/2 / 3) + 8/3 * 2 + 2²/3 =

128/3 – 64/3 – 64/3 – 16/3 + 16/3 + 4/3 = 4/3

235b)

Welches Flächenstück (Segment) schneidet die folgende Gerade von der Parabel y² = 8x ab? Berechne den Flächeninhalt!

g:y = 2x – 8

y = 2x – 8 / ²

y² = 4x² – 32x + 64

4x² – 32x + 64 = 8x / -8x

4x² – 40x + 64 = 0 /:4

x² – 10x + 16 = 0

x² – 10x + 16 => kl Lösungsformel => x1 = 8, x2 = 2

⁸∫₂ (2x - 8) - (2 * √2 * x^1/2 ) =

2x²/2 – 8x – 2 * √2 * x^3/2 / 3/2 ⁸|₂ =

x² – 8x – 2 * √2 * x^3/2 * 2/3 = x² – 8x – (4*√2 * √x³) / 3 =

x² – 8x – (4 * √2 * x * √x) / 3 =

8² – 8*8 – (4 * √2 * 8 * √8) / 3 - 2² + 8*2 – (4 * √2 * 2 * √2) / 3 =

64 – 64 – (32√16)/3 – 4 + 16 – (8√4)/3 = -128/3 – 4 + 16 -16/3
-128/3 – 12/3 + 48/3 – 16/3 = -108/3 = |-108/3 | = 36

236 a)

Berechne den Inhalt der Fläche, die von folgenden Kurven begrenzt wird.

y = -x² + 3x + 5

y = x + 2

x + 2 = -x² + 3x + 5

-x² + 2x + 3 = 0

x² – 2x – 3 = 0

=> kl Lösungsformel => x1 = -1, x2 = 3

³∫_-1 (-x² + 3x + 5 ) - ( x + 2) =
³∫_-1 (-x² + 3x + 5 - x - 2) =
³∫_-1 (-x³/3 + 3x²/2 + 5x - x²/2 – 2x) =
-27/3 + 27/2 + 15 - 9/2 – 6 - (1/3 + 3/2 - 5 - 1/2 +2) =
-54/6 + 81/6 + 90/6 – 27/6 – 36/6 - 2/6 - 9/6 + 30/6 + 3/6 – 12/6 = 32/3 

237a) Wie groß ist die Fläche die von folgenden Parabeln begrenzt wird?

y² = 3x y² = 9/2 (x-1)

Schnittpunkt S der Parabeln

3x = 9/2 (x-1) / * 2

6x = 9 (x - 1)

6x = 9x - 9/ -9x

-3x = -9

3x = 9 / :3

x = 3 => y = +- 3

Nullstellen

3x = 0

x = 0

9/2 (x-1) = 0

x = 1

A = 2 * (A1 - A2)


A1 = ³∫₀ (√3 * √x) = ³∫₀ (√3 * x1/2) =
(√3 * x^3/2 / 3/2) ³|₀ =
(√3 * 2/3 * x^3/2) ³|₀ = (√3 * 2/3 * x * √x ) ³|₀ =
√3 * 2/3 * 3 * √3 = √9 * 6/3 = 3 * 2 = 6


A2 = ³∫₁ (√(9/2 * (x-1))) = 
³∫₁ ( 3/√2 * (x-1)^1/2)) =
2/3 * 3/√2 * (x-1)^{3/2   
3}|₁ = 2/√2 * (x – 1) * √(x-1) ³|₁ =
2/√2 * (3 – 1) * √(3-1) - 2/√2 * (1 – 1) * √(1-1) =
2/√2 * (3 – 1) * √(3-1) - 2/√2 * 0* 0 =
2/√2 * 2 * √2 = 4/√2 * √2 = 4


A = 2 * (6-4) = 2*2 = 4

238) a) Berechne den Inhalt der von den beiden Kurven begrenzten Fläche.

y = 2x² y = 3 – x²

2x² = 3 – x² /+ x²

3x² = 3 /:3

x² = 1 / √

x = +- 1

A = ¹∫-₁ (3 – x² – 2x²) = ¹∫-₁ (3 – 3x²) =

3x – 3x³/3 ¹|_-1 =

3*1 – 1³ - (3*(-1)-(-1)³) = 3-1 + 3 – 1 = 2 + 3 – 1 = 5-1 = 4

238) b)

y = x² y = 2 – x²

x² = 2 – x² / +x²

2x² = 2 /:2

x² = 1 / √

x = +- 1

A = ¹∫-₁ (2 – x² – x²) = ¹∫-₁ (2 – 2x²) =

2x – 2x³/3 ¹|_-1 =

2 * 1 – (2 * 1³)/3 - (-2 + 2/3) =

2 – 2/3 + 2 – 2/3 = 4 – 4/3 = 8/3