Trigonometrie 10 - Von den Endpunkten der Standlinie AB = 100m werden die horizontalen Winkel

10. Von den Endpunkten der Standlinie AB = 100m werden die horizontalen Winkel FAB =75,20° und FBA =48,6° zum Fußpunkt F eines lotrechten Mastes gemessen. Von B aus misst man den Höhenwinkel =14°. Ermittle die Höhe des Mastes.

Trigonometrie 11 - Die Spitze eines 18m hohen Kirchturms

11. Die Spitze eines 18m hohen Kirchturms wird von einem Aussichtsplatz unter einem Tiefenwinkel =11,82° gesehen.  Wie weit ist die Turmspitze vom Beobachter entfernt, wenn vom Fußpunkt des Turmes zum Aussichtsplatz ein Höhenwinkel =15,2° gemessen wird?

Extremwertaufgabe 8 - zylindrischer Kochtopf

8.) Welche Abmessungen muss man einem zylindrischen Kochtopf von 1 Liter Fassungsvermögen geben, damit zu seiner Herstellung möglichst wenig Material erforderlich ist? Warum können Griffe unberücksichtigt bleiben?

Extremwertbeispiel 5 - Prisma mit größtem Volumen

5.) Aus 1m Draht soll das Kantenmodell eines quadratischen Prismas hergestellt werden, das den größten Rauminhalt hat. Berechne a und h.

Wahrscheinlichkeit 12 - 5 Freunde unternehmen eine Kaffeefahrt

12.) 5 Freunde unternehmen eine Kaffeefahrt nach Sopron und müssen nach der Rückfahrt durch die Zollkontrolle. Obwohl alle angeben, nur die erlaubte Menge Zigaretten und Alkohol eingekauft zu haben, haben Kevin und Timo zu viele Zigaretten mitgenommen. Der Zollbeamte wählt 2 von 5 aus, um sie zu durchsuchen.
a) Mit welcher WS erwischt der Zollbeamte keinen Schmuggler ?
b) Mit welcher WS erwischt der Zollbeamte mindestens einen der beiden Schmuggler?

Trigonometrie 3 - Von einem Berggipfel sieht man 2 Punkte A und B im ebenen Flachland

3. Von einem Berggipfel sieht man 2 Punkte A und B im ebenen Flachland in derselben Richtung unter den Senkungswinkeln = 12,7° =36,5°. A und B sind 2km von einander entfernt. Wie hoch liegt der Berggipfel über der Ebene?

Extremwertaufgabe 10 - quaderförmige Schachtel

10.) Von einem quadratischen Stück Blech mit der Seitenlänge 12cm werden an den Ecken kongruente Quadrate ausgeschnitten. Aus dem Rest wird eine quaderförmige Schachtel gebildet. Welche Seitenlängen müssen die auszuschneidenden Quadrate haben, damit das Volumen dieser Schachtel maximal wird ?

Wahrschenlichkeit 9 - Eine Münze wird dreimal geworfen

9.) Eine Münze wird dreimal geworfen. Zeichnen Sie das Baumdiagramm und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

a) A: Mehr als zweimal Wappen       b) B:Höchstens zweimal Wappen
c) C: Mindestens einmal Zahl           d) D: Genau einmal Wappen

Wahrscheinlichkeit 10 - zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen

10.) Eine Box enthält 2 rote, 3 schwarze und 5 gelbe Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln mit Zurücklegen genommen. Zeichnen Sie das Baumdiagramm, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung  und die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

a) A: Beide Kugeln sind gleichfarbig
b) B: Die erste Kugel ist rot und die zweite Kugel ist schwarz
c) C: Die zweite Kugel ist rot oder schwarz.
d)  Wie lautet das Gegenereignis von C und mit welcher WS tritt es auf?

Trigonometrie 7 - Vom Gipfel eines Berges sieht man die Spitze eines Turmes

7. Vom Gipfel eines Berges sieht man die Spitze eines Turmes der Höhe h = 60m unter dem Tiefenwinkel  = 32,20° , den Fußpunkt dieses Turmes unter dem Tiefenwinkel = 39,77. Wie hoch liegt die Spitze des Berges über der Ebene, in der sich der Turm befindet?

 

Extremwertbeispiel 3 - Rechteck von größtem Flächeninhalt

3.) Aus 64 Zündhölzern ist ein Rechteck, von größtem Flächeninhalt zu legen. Berechne die Seitenlängen (Anzahl der Zündhölzer pro Seite).

Extremwertbeispiel 1 - Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis 2

1.) Ein Fenster soll die Gestalt eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Der Gesamtumfang des Fensters sei 4m. Wie müssen Breite und Gesamthöhe des Fensters gewählt werden, damit der Lichteinfall (Fläche) maximal ist?

Extremwertaufgabe 6 - Kegel Kegelstumpf einschreiben

6) Einem Kegelstumpf mit den Radien R und r und der Höhe h ist ein Kegel derart einzuschreiben, dass die Spitze des Kegels im Mittelpunkt des Basiskreises des Kegelstumpfes liegt.  Wie groß sind Radius und Höhe des Kegels zu wählen, wenn er maximales Volumen haben soll? R = 20 cm, r = 10 cm, h = 12 cm

Probeschularbeit

Lösungen:

Extremwertaufgabe 8 - Zylinder mit zwei aufgesetzten Halbkugeln

8.) Eine Boje hat die Form eines Zylinders mit zwei aufgesetzten Halbkugeln. Der Radius der Halbkugeln ist die Hälfte des Zylinderradius. Wie ist der Zylinder zu dimensionieren, damit bei gegebenen Volumen V = 1579,5 Pi der Boje die erforderliche Blechmenge ein Minimum wird ? Berechnen Sie den Radius r und die Höhe h der Zylinders. Zeichnen Sie eine Skizze und beschriften Sie diese vollständig.

Extremwertbeispiel 2 - rechteckige Blechplatte mit möglichst großem Volumen

2.)  Aus einer rechteckigen Blechplatte von 4m Länge und 2m Breite soll durch Ausschneiden der Ecken und Hochbiegen der Ränder ein offener Kasten mit möglichst großem Volumen hergestellt werden. Wie sind die Maße zu wählen ?

Extremwertaufgabe 4 - Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis

4) Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie muss der Kanalquerschnitt bei u = 10 m dimensioniert werden, damit die Durchflussmenge maximal wird ?

Extremwertbeispiel 1: In Pyramide eingeschriebener Zylinder

1.) Einer geraden, quadratischen Pyramide mit der Grundkante a = 16 und der Körperhöhe h = 22 cm soll ein Zylinder mit möglichst großer Mantelfläche eingeschrieben werden. Wie groß ist die Mantelfläche?

 

Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen 2

Aufgabe 3: Kurvenuntersuchung, Integration, Tangenten



a) Untersuchen Sie f(x) = -1/4x⁴ + 3/2x² - 5/4 auf Symmetire, Achsenschnittpunkte, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen der Wendetangenten.



(Lösung: t_1/2 = +- 2x +- 2)
Skizzieren sie f und ihre Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich.



b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Wendetangenten und f eingeschlossen wird.






Lösung:



a) Symmetrie: f(x) = f(-x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-Achse)



Achsenschnittpunkte: x = 0 => S_y ( 0 | -5/4 )



y = 0 mit Substitution z = x² und pq-Formel => S_x1/2 (+- 1 | 0), S_x3/4 (+- √5 | 0)



Ableitungen: f '(x) = -x³ + 3x und f " (x) = -3x² + 3
Hoch und Tiefpunkte: f '(x) = 0 und f “(x) ≠ 0 => H ( 0 | -5/4 ) und T_1/2 (+- √3 | 1)



Wendepunkte: f " (x) = 0 mit Vorzeichenwechsel bzw. f '"(x) ≠ 0 => W_1/2 (+ -1|0)



Wendetangenten: t_1/2 (x) = +- 2x +- 2






b) A = 2 * ¹∫₀ ( f(x) - t₂(x))dx = 2 * ¹∫₀ (-1/4x4 + 3/2x² - 2x + 3/4)dx = 2 * [-1/20x⁵ + 1/2x³ - x² + 3/4x]¹₀ = 3/5 FE






Aufgabe 4: Kurvenuntersuchung, Extremwertaufgabe, Integration



a) Untersuche die Polynomfunktion f(x) = 1/4x⁴ -2x² + 4 auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- sowie Wendepunkte. Stelle die Funktion in einem Koordinatensystem mit allen wesentlichen Punkten dar.



b) Berechne den Inhalt des endlichen Flächenstücks A₀, das durch den Funktionsgraphen und die x-Achse begrenzt wird.



c) In den Zwischenraum A₀ soll ein Rechteck maximaler Fläche eingeschrieben werden. Bestimmte dessen Seitenlängen.



d) Wieviel Prozent des gesamten Zwischenraums A₀ nimmt das Rechteck aus c) ein?



Lösungen:



a) f ist symmetrisch zur y-Achse, da f(-x) = f(x)
Schnittpunkt mit y-Achse S_y (0|4)



f(x) = 1/4 * (x - 2)² * (x + 2)² => T_1/2 (+- 2|0)



(doppelte Nullstellen => Berührpunkte und insbesondere Tiefpunkte, da f(x) > 0 für alle x ℮ R siehe unten)



Ableitungen: f ' (x) = x³ - 4x = x(x +2)(x -2),
f '(x) = 3x² - 4 und f "(x) = 6x



Hochpunkt H (0|4), da f ' (0) = 0 und f " (0) = -1 < 0 oder mit Vorzeichenwechsel von + nach -



Tiefpunkte T_1/2 (+- 2 | 0) da f ' (+- 2) = 0 und f " (+- 2) = 2 > 0 oder wie oben oder mit Vorzeichenwechsel



Wendepunkte: W_1/2 (+- √ 4/3 | 16/9),
da f " (+- √ 4/3) = 0 und f " (+- √ 4/3) = 3/2 * √ 4/3 ≠ 0
oder mit Vorzeichenwechsel



b)
Der Flächeninhalt des gesamten Zwischenraums ist

A₀ = 2 * ²∫₀ f(x) dx = 2 * [1/20x⁵ - 2/3x³ + 4x]² ₀ =
= 2 * (8/5 - 16/3 + 8) = 128/15 FE



c) Das Rechteck mit den Eckpunkten A (-u|0), B (u|0), C(u|f(u)) und D (-u|f(-u))
mit 0 ≤ u ≤ 2



Flächeninhalt A(u) = 2u * f(u) = 1/4u⁵ - 2u³ + 4u mit A' (u) = 5/4u⁴ -6u² + 4 =
= 5/4 (u⁴ - 24/5u² + 16/5)



A'(u) = 0 für u² = 12/5 +- 8/5 < = > u_1/2 = +- √ 4/5 und u_3/4 = +- 2



u₂ und u₄ sind negativ und liegen ausserhalb des betrachteten Bereiches.



In u₃ = 2 wird die Fläche minimal mit A(2) = 0



Das absolute und relative Maximum muss also bei u₁ = √4/5 liegen mit f (√4/5 ) = 64/25



Das Rechteck hat die Seitenlängen 2 * √ 4/5 und 64/25






d) Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist A = 128/25 √4/5 FE.



Der Anteil von A beträgt A : A0 = A/A0 = √4/5 * 128/25 * 15/128 =



= √4/5 * 3/5      ~53,67%

Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen

Aufgabe 1:    Kurvendiskussion, Flächenberechnung

Untersuchen Sie f(x) = 1/2 x⁴- 2x² und g(x) = 1/2 x² - 2 auf Symmetie,Achsenschnittpunkte, Extrempunkte sowie gemeinsame Punkte. Skizzieren Sie beide Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von f und g eingeschlossen wird. 

Lösung:

Symmetrie: f und g sind symmetrisch zur y-Achse, da f(-x) = f(x) und g(-x) = g(x)

f(x) = 1/2 (x - 2)(x + 2)  = > S_fx1(0|0) (doppelt, daher Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel) und

S_{fx2/3  (+- 2|0)} 

_{g(x) = 1/2 (x - 2)(x + 2) => Sgx1/2 (+-2|0) und Sgy (-4|0) (Scheitelpunkt = Tiefpunkt)}

Ableitungen: f ' (x) = 2x³ - 4x = 2x(x² - 2) und f " (x) = 6x² - 4

Tiefpunkte (f ' (x) = 0 und f " (x) > 0 ) : T_f1/2(+- √2 | -2 )

Gemeinsame Punkte: f (x) = g (x) < = > ½ x⁴ – 5/2 x² + 2 = 0 <=> ½ (x² – 1)(x² – 4) = 0

S_fg1/2 (+-1| -3/2) und S_fg3/4(+-2 | 0)

Flächeninhalt A = 2 * ¹∫₀ (f(x) – g(x)) dx + 2 * ²∫_-1 ((g(x) – f(x)) dx

= ¹∫₀ (x⁴ – 5x² + 4) dx + ²∫₁ (-x⁴ + 5x² – 4)dx = [1/5x⁵ – 5/3x³ + 4x ]¹₀ + [ -1/5x⁵ + 5/3x³ – 4x]²₁

₌ 38/15 + 38/15 + 44/15 = 8 FE

Aufgabe 2 : Kurvenuntersuchung, Integration, Tangenten

a)  Untersuchen Sie f(x) = 1/2x⁴ – 3x² + 5/2 auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangenten. (Lösung: t_1/2 = +-4x +- 4) Skizzieren sie f und ihre Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich.

b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Wendetangten und f eingeschlossen wird.

Lösung:

a) Symmetrie: f(x) = f(-x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-Achse)

Achsenschnittpunkte: x = 0 => S_y (0 | 5/2)

y = 0 mit Subtitiution z = x² und pq-Formel => S_x1/2(+- 1| 0), Sx3/4 (+- √5| 0)

Ableitungen: f ' (x) = 2x³ – 6x und f “ (x) = 6x² – 6

Hoch- und Tiefpunkte: f ' (x) = 0 und f “ (x) ≠ 0 => H (0 | 5/2) und T_1/2 (+- √3 | -2)

Wendepunkte: f “ (x) = 0 mit Vorzeichenwechsel bzw. f “' (x) ≠ 0 => W_1/2 (+- 1|0)

Wendetangenten: t_1/2 (x) = +- 4x +- 4

b) A = 2 * ¹∫₀ (t1(x) – f(x)) dx = 2 * ¹∫₀ (-1/2x⁴ + 3x² – 4x + 3/2) dx

= 2 * [ -1/10x⁵ + x³ – 2x² + 3/2x ]¹₀ = 6/5 FE

Integral- Flächeninhaltsberechnungen 2

229) b) Wie groß ist das endliche Flächenstück welches die Abszissenachse mit der Kurve y = x³ + 4x² + 4x bildet?

Abszissenachse = x – Achse

y = x³ + 4x² + 4x

x(x² + 4x + 4)

x1 = 0

x² + 4x + 4 = 0 = > kl Lösungsformel => x2 = -2

⁰∫_-2 (x³ + 4x² + 4x) =
⁰∫_-2 x⁴/4 + 4x³/3 + 4x²/2 =
0 - (- 2⁴/4 + 4*(-2)³/3 + 4*(-2)²/2 =
-(16/4 – 32/3 + 16/2) = -16/4 + 32/3 – 16/2 = - 48/12 + 128/12 – 96/12 = | -16/12 | = 4/3

229) a) Wie groß ist das endliche Flächenstück welches die Abszissenachse mit der Kurve y = x³ - 6x² + 9x bildet?

x³ - 6x² + 9x = 0

x(x² – 6x + 9) = 0

x1 = 0

x² – 6x + 9 = 0

kl Lösungsformel => x2 = 3

³∫₀ (x³ - 6x² + 9x) =
³∫₀ (x⁴/4 – 6x³/3 + 9x²/2) =
(3⁴/4 – 6*3³/3 + 9*2²/2) – 0 = 81/4 – 162/3 + 81/2 = 243/12 – 648/12 + 486/12 = 81/12 = 27/4


230) b)
Wie groß ist das endliche Flächenstück, welches die Abszissenachse mit der Kurve y = x⁴ – 2x² + 1 bildet?


x⁴ – 2x² + 1 = 0
u² – 2u + 1 = 0 <= Substitution

kl Lösungsformel: 2/2 +- √(-2/2)² – 1 => u = 1 => x² = 1 => √ => x = +- 1


¹∫_-1 (x⁴ – 2x² + 1) = ¹∫_-1 (x⁵/5 – 2x³/3 + 1x) = (1/5 – 2/3 + 1) – (-1/5 + 2/3 - 1) =
= 3/15 – 10/15 + 15/15 + 3/15 – 10/15 + 15/15 = 16/15

231) Gegeben ist eine Kurve mit der Funktionsgleichung y = x³ – 4x² – x + 4. 1) Ermittle die Nullstellen x1, x2, x3 und berechne den Flächeninhalt zwischen x1 und x3 2) und das bestimmte Integral von f zwischen x1 und x3.

1. y = x³ – 4x² – x + 4 => Polynomdivision
   1. Nullstelle : x1 = 1

(x³ – 4x² – x + 4) : ( x - 1) = x² – 3x – 4

-x³ + x²

-3x² – x

+3x² – 3x

-4x + 4

+4x – 4

0 0 R

x² – 3x – 4 => kl Lösungsformel => x2 = 4, x3 = -1

¹∫_-1 (x³ – 4x² – x + 4) =

x⁴/4 – 4x³/3 – x²/2 + 4x ¹|_-1 =

1⁴/4 – 4*1³/3 – 1²/2 + 4*1 - ((-1)⁴/4 – 4*(-1)³/3 – (-1)²/2 + 4(-1) ) =

¼ – 4/3 – ½ + 4 - ¼ – 4/3 + ½ + 4 = -8/3 + 8 = -8/3 + 24/3 = 16/3

⁴∫₁ (x³ – 4x² – x + 4) =

(x⁴/4 – 4x³/3 – x²/2 + 4x ) ⁴|_{1 =}

(4⁴/4 – 4*4³/3 – 4²/2 + 4*4 ) - (1⁴/4 – 4*1³/3 – 1²/2 + 4*1) =

256/4 – 256/3 – 16/2 + 16 – ¼ + 4/3 +1/2 – 4 =

255/4 – 252/3 – 15/2 + 12 =

765/12 – 1008/12 – 90/12 + 144/12 = -189/12 = -63/4

A = 16/3 + 63/4 = 64/12 + 189/12 = 253/12

2. ⁴∫_-1 (x³ – 4x² – x + 4) =

x⁴/4 – 4x³/3 – x²/2 + 4x ⁴|_-1 =

256/4 – 256/3 – 16/2 + 16 - (1/4 + 4/3 – 1/2 - 4 ) =

255/4 – 260/3 – 15/2 + 20 = 765/12 – 1040/12 – 90/12 + 240/12 = -125/12

235 a)
Welches Flächenstück (Segment) schneidet die folgende Gerade von der Parabel y² = 8x ab? Berechne den Flächeninhalt!


3y – 2x = 8
y² = 8x


3y – 2x = 8
-2x = 8 – 3y
x = -4 + 1,5y


y² = 8(-4 + 1,5y)
y² = -32 + 12y
y² + 32 – 12y = 0


kl Lösungsformel = > y1 = 8 , y2 = 4


y in y² + 32 – 12y = 0 => x1 = 8, x2= 2 s1(8|8), s2(2|4)


y² = 8x / √
y = 2 * √2 x^1/2


3y – 2x = 8
3y = 8 + 2x
y = 8/3 + 2/3x


⁸∫₂ (2 * √2 x^1/2 ) - (8/3 + 2/3x)
⁸∫₂ (2 * √2 * x^3/2 / 3/2) - (8/3x + 2/3 * x²/2) =
4 * √2 * 8^3/2 / 3) – 8/3 * 8 - 8²/3 - 4 * √2 *2^3/2 / 3) + 8/3 * 2 + 2²/3 =

128/3 – 64/3 – 64/3 – 16/3 + 16/3 + 4/3 = 4/3

235b)

Welches Flächenstück (Segment) schneidet die folgende Gerade von der Parabel y² = 8x ab? Berechne den Flächeninhalt!

g:y = 2x – 8

y = 2x – 8 / ²

y² = 4x² – 32x + 64

4x² – 32x + 64 = 8x / -8x

4x² – 40x + 64 = 0 /:4

x² – 10x + 16 = 0

x² – 10x + 16 => kl Lösungsformel => x1 = 8, x2 = 2

⁸∫₂ (2x - 8) - (2 * √2 * x^1/2 ) =

2x²/2 – 8x – 2 * √2 * x^3/2 / 3/2 ⁸|₂ =

x² – 8x – 2 * √2 * x^3/2 * 2/3 = x² – 8x – (4*√2 * √x³) / 3 =

x² – 8x – (4 * √2 * x * √x) / 3 =

8² – 8*8 – (4 * √2 * 8 * √8) / 3 - 2² + 8*2 – (4 * √2 * 2 * √2) / 3 =

64 – 64 – (32√16)/3 – 4 + 16 – (8√4)/3 = -128/3 – 4 + 16 -16/3
-128/3 – 12/3 + 48/3 – 16/3 = -108/3 = |-108/3 | = 36

236 a)

Berechne den Inhalt der Fläche, die von folgenden Kurven begrenzt wird.

y = -x² + 3x + 5

y = x + 2

x + 2 = -x² + 3x + 5

-x² + 2x + 3 = 0

x² – 2x – 3 = 0

=> kl Lösungsformel => x1 = -1, x2 = 3

³∫_-1 (-x² + 3x + 5 ) - ( x + 2) =
³∫_-1 (-x² + 3x + 5 - x - 2) =
³∫_-1 (-x³/3 + 3x²/2 + 5x - x²/2 – 2x) =
-27/3 + 27/2 + 15 - 9/2 – 6 - (1/3 + 3/2 - 5 - 1/2 +2) =
-54/6 + 81/6 + 90/6 – 27/6 – 36/6 - 2/6 - 9/6 + 30/6 + 3/6 – 12/6 = 32/3 

237a) Wie groß ist die Fläche die von folgenden Parabeln begrenzt wird?

y² = 3x y² = 9/2 (x-1)

Schnittpunkt S der Parabeln

3x = 9/2 (x-1) / * 2

6x = 9 (x - 1)

6x = 9x - 9/ -9x

-3x = -9

3x = 9 / :3

x = 3 => y = +- 3

Nullstellen

3x = 0

x = 0

9/2 (x-1) = 0

x = 1

A = 2 * (A1 - A2)


A1 = ³∫₀ (√3 * √x) = ³∫₀ (√3 * x1/2) =
(√3 * x^3/2 / 3/2) ³|₀ =
(√3 * 2/3 * x^3/2) ³|₀ = (√3 * 2/3 * x * √x ) ³|₀ =
√3 * 2/3 * 3 * √3 = √9 * 6/3 = 3 * 2 = 6


A2 = ³∫₁ (√(9/2 * (x-1))) = 
³∫₁ ( 3/√2 * (x-1)^1/2)) =
2/3 * 3/√2 * (x-1)^{3/2   
3}|₁ = 2/√2 * (x – 1) * √(x-1) ³|₁ =
2/√2 * (3 – 1) * √(3-1) - 2/√2 * (1 – 1) * √(1-1) =
2/√2 * (3 – 1) * √(3-1) - 2/√2 * 0* 0 =
2/√2 * 2 * √2 = 4/√2 * √2 = 4


A = 2 * (6-4) = 2*2 = 4

238) a) Berechne den Inhalt der von den beiden Kurven begrenzten Fläche.

y = 2x² y = 3 – x²

2x² = 3 – x² /+ x²

3x² = 3 /:3

x² = 1 / √

x = +- 1

A = ¹∫-₁ (3 – x² – 2x²) = ¹∫-₁ (3 – 3x²) =

3x – 3x³/3 ¹|_-1 =

3*1 – 1³ - (3*(-1)-(-1)³) = 3-1 + 3 – 1 = 2 + 3 – 1 = 5-1 = 4

238) b)

y = x² y = 2 – x²

x² = 2 – x² / +x²

2x² = 2 /:2

x² = 1 / √

x = +- 1

A = ¹∫-₁ (2 – x² – x²) = ¹∫-₁ (2 – 2x²) =

2x – 2x³/3 ¹|_-1 =

2 * 1 – (2 * 1³)/3 - (-2 + 2/3) =

2 – 2/3 + 2 – 2/3 = 4 – 4/3 = 8/3