Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen 2

Aufgabe 3: Kurvenuntersuchung, Integration, Tangenten



a) Untersuchen Sie f(x) = -1/4x⁴ + 3/2x² - 5/4 auf Symmetire, Achsenschnittpunkte, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen der Wendetangenten.



(Lösung: t_1/2 = +- 2x +- 2)
Skizzieren sie f und ihre Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich.



b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Wendetangenten und f eingeschlossen wird.






Lösung:



a) Symmetrie: f(x) = f(-x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-Achse)



Achsenschnittpunkte: x = 0 => S_y ( 0 | -5/4 )



y = 0 mit Substitution z = x² und pq-Formel => S_x1/2 (+- 1 | 0), S_x3/4 (+- √5 | 0)



Ableitungen: f '(x) = -x³ + 3x und f " (x) = -3x² + 3
Hoch und Tiefpunkte: f '(x) = 0 und f “(x) ≠ 0 => H ( 0 | -5/4 ) und T_1/2 (+- √3 | 1)



Wendepunkte: f " (x) = 0 mit Vorzeichenwechsel bzw. f '"(x) ≠ 0 => W_1/2 (+ -1|0)



Wendetangenten: t_1/2 (x) = +- 2x +- 2






b) A = 2 * ¹∫₀ ( f(x) - t₂(x))dx = 2 * ¹∫₀ (-1/4x4 + 3/2x² - 2x + 3/4)dx = 2 * [-1/20x⁵ + 1/2x³ - x² + 3/4x]¹₀ = 3/5 FE






Aufgabe 4: Kurvenuntersuchung, Extremwertaufgabe, Integration



a) Untersuche die Polynomfunktion f(x) = 1/4x⁴ -2x² + 4 auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- sowie Wendepunkte. Stelle die Funktion in einem Koordinatensystem mit allen wesentlichen Punkten dar.



b) Berechne den Inhalt des endlichen Flächenstücks A₀, das durch den Funktionsgraphen und die x-Achse begrenzt wird.



c) In den Zwischenraum A₀ soll ein Rechteck maximaler Fläche eingeschrieben werden. Bestimmte dessen Seitenlängen.



d) Wieviel Prozent des gesamten Zwischenraums A₀ nimmt das Rechteck aus c) ein?



Lösungen:



a) f ist symmetrisch zur y-Achse, da f(-x) = f(x)
Schnittpunkt mit y-Achse S_y (0|4)



f(x) = 1/4 * (x - 2)² * (x + 2)² => T_1/2 (+- 2|0)



(doppelte Nullstellen => Berührpunkte und insbesondere Tiefpunkte, da f(x) > 0 für alle x ℮ R siehe unten)



Ableitungen: f ' (x) = x³ - 4x = x(x +2)(x -2),
f '(x) = 3x² - 4 und f "(x) = 6x



Hochpunkt H (0|4), da f ' (0) = 0 und f " (0) = -1 < 0 oder mit Vorzeichenwechsel von + nach -



Tiefpunkte T_1/2 (+- 2 | 0) da f ' (+- 2) = 0 und f " (+- 2) = 2 > 0 oder wie oben oder mit Vorzeichenwechsel



Wendepunkte: W_1/2 (+- √ 4/3 | 16/9),
da f " (+- √ 4/3) = 0 und f " (+- √ 4/3) = 3/2 * √ 4/3 ≠ 0
oder mit Vorzeichenwechsel



b)
Der Flächeninhalt des gesamten Zwischenraums ist

A₀ = 2 * ²∫₀ f(x) dx = 2 * [1/20x⁵ - 2/3x³ + 4x]² ₀ =
= 2 * (8/5 - 16/3 + 8) = 128/15 FE



c) Das Rechteck mit den Eckpunkten A (-u|0), B (u|0), C(u|f(u)) und D (-u|f(-u))
mit 0 ≤ u ≤ 2



Flächeninhalt A(u) = 2u * f(u) = 1/4u⁵ - 2u³ + 4u mit A' (u) = 5/4u⁴ -6u² + 4 =
= 5/4 (u⁴ - 24/5u² + 16/5)



A'(u) = 0 für u² = 12/5 +- 8/5 < = > u_1/2 = +- √ 4/5 und u_3/4 = +- 2



u₂ und u₄ sind negativ und liegen ausserhalb des betrachteten Bereiches.



In u₃ = 2 wird die Fläche minimal mit A(2) = 0



Das absolute und relative Maximum muss also bei u₁ = √4/5 liegen mit f (√4/5 ) = 64/25



Das Rechteck hat die Seitenlängen 2 * √ 4/5 und 64/25






d) Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist A = 128/25 √4/5 FE.



Der Anteil von A beträgt A : A0 = A/A0 = √4/5 * 128/25 * 15/128 =



= √4/5 * 3/5      ~53,67%