Untersuchen Sie f(x) = 1/2 x4- 2x² und g(x) = 1/2 x² - 2 auf Symmetie,Achsenschnittpunkte, Extrempunkte sowie gemeinsame Punkte. Skizzieren Sie beide Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von f und g eingeschlossen wird.
Lösung:
Symmetrie: f und g sind symmetrisch zur y-Achse, da f(-x) = f(x) und g(-x) = g(x)
f(x) = 1/2 (x - 2)(x + 2) = > Sfx1(0|0) (doppelt, daher Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel) und
Sfx2/3 (+- 2|0)
g(x) = 1/2 (x - 2)(x + 2) => Sgx1/2 (+-2|0) und Sgy (-4|0) (Scheitelpunkt = Tiefpunkt)
Ableitungen: f ' (x) = 2x³ - 4x = 2x(x² - 2) und f " (x) = 6x² - 4
Gemeinsame Punkte: f (x) = g (x) < = > ½ x4 – 5/2 x² + 2 = 0
<=> ½ (x² – 1)(x² – 4) = 0
Sfg1/2 (+-1| -3/2) und
Sfg3/4(+-2 | 0)
Flächeninhalt A = 2 *
1∫0
(f(x)
– g(x)) dx + 2 * ²∫-1
((g(x)
– f(x))
dx
=
1∫0
(x4
– 5x² + 4) dx + ²∫1
(-x4
+ 5x² – 4)dx = [1/5x5
– 5/3x³ + 4x ]10
+
[
-1/5x5
+ 5/3x³ – 4x]21
=
38/15 + 38/15 + 44/15 = 8 FE
Aufgabe 2 : Kurvenuntersuchung,
Integration, Tangenten
a) Untersuchen Sie f(x) = 1/2x4
– 3x² + 5/2 auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Hoch- und
Tiefpunkte, Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichung der
Wendetangenten. (Lösung: t1/2 = +-4x +- 4) Skizzieren sie
f und ihre Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden
Bereich.
b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche,
die von den beiden Wendetangten und f eingeschlossen wird.
Lösung:
a) Symmetrie: f(x) = f(-x) (gerade
Funktion, Symmetrie zur y-Achse)
Achsenschnittpunkte: x = 0 => Sy
(0 | 5/2)
y = 0 mit Subtitiution z = x² und
pq-Formel => Sx1/2(+- 1| 0), Sx3/4 (+- √5| 0)
Ableitungen: f ' (x) = 2x³ – 6x und
f “ (x) = 6x² – 6
Hoch- und Tiefpunkte: f ' (x) = 0 und f
“ (x) ≠
0 => H (0 | 5/2) und T1/2
(+- √3 | -2)
Wendepunkte:
f “ (x) = 0 mit Vorzeichenwechsel bzw. f “' (x) ≠
0 => W1/2 (+-
1|0)
Wendetangenten:
t1/2
(x) = +- 4x +- 4
b)
A = 2 * 1∫0
(t1(x)
– f(x)) dx = 2 * 1∫0
(-1/2x4
+ 3x² – 4x + 3/2) dx
=
2 * [ -1/10x5
+ x³ – 2x² + 3/2x ]10
=
6/5 FE
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