a) Untersuchen Sie f(x) = -1/4x4 + 3/2x² - 5/4 auf Symmetire, Achsenschnittpunkte, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen der Wendetangenten.
(Lösung: t1/2 = +- 2x +- 2)
Skizzieren sie f und ihre Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich.
b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Wendetangenten und f eingeschlossen wird.
Lösung:
a) Symmetrie: f(x) = f(-x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-Achse)
Achsenschnittpunkte: x = 0 => Sy ( 0 | -5/4 )
y = 0 mit Substitution z = x² und pq-Formel => Sx1/2 (+- 1 | 0), Sx3/4 (+- √5 | 0)
Ableitungen: f '(x) = -x³ + 3x und f " (x) = -3x² + 3
Hoch und Tiefpunkte: f '(x) = 0 und f “(x) ≠ 0 => H ( 0 | -5/4 ) und T1/2 (+- √3 | 1)
Wendepunkte: f " (x) = 0 mit Vorzeichenwechsel bzw. f '"(x) ≠ 0 => W1/2 (+ -1|0)
Wendetangenten: t1/2 (x) = +- 2x +- 2
b) A = 2 * 1∫0 ( f(x) - t2(x))dx = 2 * 1∫0 (-1/4x4 + 3/2x² - 2x + 3/4)dx = 2 * [-1/20x5 + 1/2x³ - x² + 3/4x]10 = 3/5 FE
Aufgabe 4: Kurvenuntersuchung, Extremwertaufgabe, Integration
a) Untersuche die Polynomfunktion f(x) = 1/4x4 -2x² + 4 auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- sowie Wendepunkte. Stelle die Funktion in einem Koordinatensystem mit allen wesentlichen Punkten dar.
b) Berechne den Inhalt des endlichen Flächenstücks A0, das durch den Funktionsgraphen und die x-Achse begrenzt wird.
c) In den Zwischenraum A0 soll ein Rechteck maximaler Fläche eingeschrieben werden. Bestimmte dessen Seitenlängen.
d) Wieviel Prozent des gesamten Zwischenraums A0 nimmt das Rechteck aus c) ein?
Lösungen:
a) f ist symmetrisch zur y-Achse, da f(-x) = f(x)
Schnittpunkt mit y-Achse Sy (0|4)
f(x) = 1/4 * (x - 2)² * (x + 2)² => T1/2 (+- 2|0)
(doppelte Nullstellen => Berührpunkte und insbesondere Tiefpunkte, da f(x) > 0 für alle x ℮ R siehe unten)
Ableitungen: f ' (x) = x³ - 4x = x(x +2)(x -2),
f '(x) = 3x² - 4 und f "(x) = 6x
Hochpunkt H (0|4), da f ' (0) = 0 und f " (0) = -1 < 0 oder mit Vorzeichenwechsel von + nach -
Tiefpunkte T1/2 (+- 2 | 0) da f ' (+- 2) = 0 und f " (+- 2) = 2 > 0 oder wie oben oder mit Vorzeichenwechsel
Wendepunkte: W1/2 (+- √ 4/3 | 16/9),
da f " (+- √ 4/3) = 0 und f " (+- √ 4/3) = 3/2 * √ 4/3 ≠ 0
oder mit Vorzeichenwechsel
b)
Der Flächeninhalt des gesamten Zwischenraums ist
A0 = 2 * 2∫0 f(x) dx = 2 * [1/20x5 - 2/3x³ + 4x]2 0 =
= 2 * (8/5 - 16/3 + 8) = 128/15 FE
c) Das Rechteck mit den Eckpunkten A (-u|0), B (u|0), C(u|f(u)) und D (-u|f(-u))
mit 0 ≤ u ≤ 2
Flächeninhalt A(u) = 2u * f(u) = 1/4u5 - 2u³ + 4u mit A' (u) = 5/4u4 -6u² + 4 =
= 5/4 (u4 - 24/5u² + 16/5)
A'(u) = 0 für u² = 12/5 +- 8/5 < = > u1/2 = +- √ 4/5 und u3/4 = +- 2
u2 und u4 sind negativ und liegen ausserhalb des betrachteten Bereiches.
In u3 = 2 wird die Fläche minimal mit A(2) = 0
Das absolute und relative Maximum muss also bei u1 = √4/5 liegen mit f (√4/5 ) = 64/25
Das Rechteck hat die Seitenlängen 2 * √ 4/5 und 64/25
d) Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist A = 128/25 √4/5 FE.
Der Anteil von A beträgt A : A0 = A/A0 = √4/5 * 128/25 * 15/128 =
= √4/5 * 3/5 ~53,67%
