Integral- Volumensberechnungen

7.) Der Abschnitt des Graphen von f(x) zwischen den Punkten (x₁/f(x₁)) und (x₂/f(x₂)) rotiert um die x-Achse. 
Berechne das Volumen des dabei entstehenden Drehkörpers!




a) f (x) = 3x x1 = 0, x2 = 2
=> (3x)² = 9x² 
 
π ²∫₀ (9x²) = π (9x³/3) = 24 π





b) f (x) = x/2 + 3
=> (x/2 + 3)² = x²/4 + 6x/2 + 9 
 

π ⁴∫₀ (x²/4 + 6x/4 + 9 ) =  
π ⁴∫₀ (x³/3*4 + 6x²/2*2 + 9x) =
π (64/12 + 96/4 + 36) = π (64/12 + 288/12 + 432/12) = 784/12π ~65,33π




d) f (x) = x² + 1 x₁ = 0, x₂ = 2 
(x² + 1)² = x⁴ + 2x + 1
 
π ²∫₀ (x⁴ + 2x² + 1 ) =
π ²∫₀ (x⁵/5 + 2x³/3 + x) =
π (32/5 + 16/3 + 2) = π (96/15 + 80/15 + 30/15 ) = 206/15 π ~ 13,73 π


10. Das Flächenstück zwischen den Parabeln y² = 4x und x² = 4y rotiert um die x-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden Drehkörpers?

y² = 4x => y² = 4x
x² = 4y => y = 1/4x² = > y² = 1/16x⁴



4x = 1/16 x⁴
64x = x⁴
x(x³ – 64)
=> x1 = 0



x³ = 64 / ³√
x = 4



π ⁴∫₀ (4x – 1/16x⁴) = π ⁴∫₀ (4x²/2 – 1/16*5 x⁵) = π ⁴∫₀ (2x² – x⁵/80) = π (32 – 12,8) = 19,2 π